题目内容
【题目】[阅读理解]
构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．
[经验运用]
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．
求证：①G是EF的中点；
②CG＝
BE；
[拓展延伸]
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（ 2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）BE＝
CG，理由详见解析；（3）
．
【解析】
（1）①过点E作EI∥BC交AC于点I，证明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；
②由等腰直角三角形的性质得出 AI＝
AE，由平行线得出
＝
＝，证出IC＝BE，由全等三角形的性质得出IG＝CG＝
IC，即可得出结论；
（2）作EI∥BC 交AC于点I，由三角函数证出AE＝2IE，得出IE＝CF，证△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，设IE＝a，则AE＝2a，求出
＝
，则＝＝
，得出IC＝EB，即可得出结果；
（3）作FP∥AB交AC于P，则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，则tan∠CPF＝
＝tan∠CAB＝
＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3
，证明△CPF∽△CAB，得出
＝
＝
，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再证明△PFH∽△CDH，得出
＝
＝，得出PH＝
PC＝
，即可得出结果．
（1）证明：①过点E作EI∥BC交AC于点I，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠AIE＝∠BAC＝45°，
∴AE＝EI，
∵AE＝CF，
∴CF＝EI，
∵EI∥BC，
∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，
在△EIG和△FCG中，
，
∴△EIG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG，
∴G是EF的中点；
②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，
∴△AEI是等腰直角三角形，
∴AI＝AE，
∴＝，
∵EI∥BC，
∴＝＝，
∴IC＝BE，
∵△EIG≌△FCG，
∴IG＝CG＝IC，
∴CG＝×BE＝
BE；
（2）解：BE和CG之间的数量关系为：BE＝CG；理由如下：
过点E作EI∥BC 交AC于点I，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，
∴tan∠IAE＝
＝＝，
∴AE＝2IE，
∵AE＝2CF，
∴IE＝CF，
∵EI∥BC，
∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，
在△EIG和△FCG中，
，
∴△EIG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG，IG＝CG，
设IE＝a，则AE＝2a，
在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，
∴AI＝
＝
＝a，cos∠IAE＝，
即＝
＝，
∵EI∥BC，
∴＝＝，
∴IC＝EB，
∵IG＝CG＝IC，
∴CG＝BE，
∴BE＝CG；
（3）解：作FP∥AB交AC于P，如图3所示：
则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，
在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，
∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，
∴PF＝2CF，
∵AE＝2CF，
∴AE＝PF＝2，
同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），
∴AG＝PG，
∵BF＝2，CF＝1，
∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，
∴AC＝
＝
＝3，
∵FP∥AB，
∴△CPF∽△CAB，
∴＝＝，
∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，
∴AG＝PG＝PA＝，
∵FP∥CD，
∴△PFH∽△CDH，
∴＝＝
＝，
∴PH＝PC＝，
∴GH＝PG+PH＝
＝．
