Question

阅读：已知（x+1）（2x-3）=2x²-x-3，那么多项式2x²-x-3除以x+1的商是2x-3．
解决问题：
（1）已知关于x的二次多项式除以x-5，商是2x+6，余式是2，求这个多项式；
（2）已知关于x的多项式3x²+mnx+n除以x+1的商是3x-5，余式是x，求m、n的值；
（3）已知关于x的三次多项式除以x²-1时，余式是2x-5；除以x²-4时，余式是-3x+4，求这个三次多项式．

Answer 1

考点：整式的除法

专题：阅读型

分析：（1）由除法的意义可知，这个多项式为被除式，由被除式=除式×商式+余式，然后根据多项式乘多项式的法则计算；
（2）根据被除式=除式×商式+余式得出3x²+mnx+n=（x+1）（3x-5）+x，再将等式右边化简，然后根据多项式相等的体积即可求出m、n的值；
（3）设所求三次多项式f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），f（x）除以x²-1，x²-4时，商式分别为ax+m，ax+n，则ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-5①，ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x+4②，用特值法列出方程组，从而确定a，b，c，d这4个系数．

解答：解：（1）依题意得：
（x-5）（2x+6）+2
=2x²+6x-10x-30+2
=2x²-4x-28；

（2）由题意得3x²+mnx+n=（x+1）（3x-5）+x，
∵（x+1）（3x-5）+x=3x²-5x+3x-5+x=3x²-x-5，
∴3x²+mnx+n=3x²-x-5，
∴mn=-1，n=-5，
∴m=

1

5

，n=-5；

（3）设所求三次多项式f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
f（x）除以x²-1，x²-4时，商式分别为ax+m，ax+n，
则ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-5①，
ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x+4②，
在①式中分别取x=1，-1时，
a+b+c+d=-3③，
-a+b-c+d=-7④，
在②式中分别取x=2，-2时，
8a+4b+2c+d=-2⑤，
-8a+4b-2c+d=10⑥，
联立③④⑤⑥，解得：a=-

5

3

，b=3，c=

11

3

，d=-8．
故所求的三次多项式为-

5

3

x³+3x²+

11

3

x-8．

点评：此题考查多项式的除法，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键．其中（3）用特值法列方程组求解，难度较大．