题目内容
如图，平面直角坐标系中，直线y=-
| ||
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（1）求A、B两点的坐标；
（2）作点P关于直线EF的对称点P′，在运动过程中，若形成的四边形PEP′F是菱形，则t的值是多少？
（3）当t=2时，是否存在点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）分别令x、y为0，求出点A、B的坐标；
（2）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求得一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形也可求解；
（3）当t=2时，可求得点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．
（2）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求得一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形也可求解；
（3）当t=2时，可求得点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．
解答：解：（1）当y=0时，-
x+3=0，
解得：x=3
，
即A（3
，0），
当x=0时，y=3，
即B（0，3）；
（2）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1），
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=
t，∠A=30°，
∴AG=
=
t，
而AP=
t，
∴OP=3
-
t，PG=AP-AG=
t-
t=
t，
由3
-
t=
t，
解得：t=
；
②当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
③当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2），
∵OE=
t，
∴BE=3-
t，
∴EF=
=3
-
t，
∴MP=EH=
EF=
-
t，
又∵BP=2（t-6），
在Rt△BMP中，BP•sin60°=MP
即2（t-6）•
=
-
t，
解得：t=
；
（3）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=
，AP=2
，OP=
，
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3），
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度，
∴C点坐标为（-
，
-
），
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC，
由
=
=
=
，
可得Q的坐标为（-
，-
）；
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（-
，
）也符合条件．
| ||
| 3 |
解得：x=3
| 3 |
即A（3
| 3 |
当x=0时，y=3，
即B（0，3）；
（2）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1），
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=
| 1 |
| 3 |
∴AG=
| FG |
| tan30° |
| ||
| 3 |
而AP=
| 3 |
∴OP=3
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
由3
| 3 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
解得：t=
| 9 |
| 5 |
②当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
③当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2），
∵OE=
| 1 |
| 3 |
∴BE=3-
| 1 |
| 3 |
∴EF=
| BE |
| tan30° |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴MP=EH=
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| ||
| 6 |
又∵BP=2（t-6），
在Rt△BMP中，BP•sin60°=MP
即2（t-6）•
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| ||
| 6 |
解得：t=
| 45 |
| 7 |
（3）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3），
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度，
∴C点坐标为（-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC，
由
| BE |
| FE |
| B′E |
| FE |
| CE |
| QE |
| ||
| 3 |
可得Q的坐标为（-
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（-
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 11 |
| 3 |
点评：本题考查了一次函数综合题，还考查了菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性，不要漏解．
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