Question

已知二次函数y=-x²+（m-1）x+m．
（1）证明：不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求出顶点坐标并画出该函数图象；
（3）在（2）的条件下，观察图象．
①不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集是

 

；
②若一元二次方程-x²+（m-1）x+m=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

 

；
③若一元二次方程-x²+（m-1）x+m-t=0在-1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的图象,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）令y=0得到关于x的方程，找出相应的a，b及c的值，表示出b²-4ac，整理配方后，根据完全平方式大于等于0，判断出b²-4ac大于等于0，可得出抛物线与x轴总有交点，得证；
（2）由抛物线与y轴交于（0，3），将x=0，y=3代入抛物线解析式，求出m的值，进而确定出抛物线解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象，如图所示；
（3）由图象和解析式即可可求得．

解答：解：（1）∵△=b²-4ac=（m-1）²-4×（-1）×m=（m+1）²≥0，
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点     
（2）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），
∴把x=0，y=3代入解析式得：m=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
列表如下：

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-5	0	3	4	3	0	-5

描点；
画图如下：
                                      
（3）根据图象可知：①不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集是：0＜x＜2，
②由抛物线的解析式y=-（x-1）²+4可知若一元二次方程-x²+（m-1）x+m=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是：k＜4，
③若一元二次方程-x²+（m-1）x+m-t=0在-1＜x＜4的范围内有实数根，t的取值就是函数y=-x²+2x+3在-1＜x＜4的范围内的函数值，由图象可知在-1＜x＜4的范围内-5＜y≤4，故-5＜t≤4．
故答案为0＜x＜2，k＜4，-5＜t≤4．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象与性质，是一道综合性较强的试题．