Question

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上有一点M使△MAB的周长最小，求出此时△MAB的周长；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点N（不与点O、A重合），使∠NAO比∠MAO小？若存在请求出点N横坐标x_N的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将其解析式设为顶点坐标式，然后将原点坐标代入上式，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）作B关于y轴的对称点B′（-4，0），连接AB′交y轴于M，则M即为所求的点，此时△MAB的周长最小，根据△MAB的周长=MA+MB+AB=AB′+AB即可求得．
（3）求得∠NAO=∠MAO时的N的坐标有两个，根据两个交点的坐标即可求得．

解答：解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，
∵抛物线过原点，
∴a（0-2）²+1=0，a=-

1

4

；
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+1=-

1

4

x²+x．

（2）由（1）可知B（4，0），作B关于y轴的对称点B′（-4，0），连接AB′交y轴于M，则M即为所求的点，此时△MAB的周长最小，
∴此时△MAB的周长=MA+MB+AB=AB′+AB=

(2+4)2+12

+

(4-2)2+12

=

37

+

5

．

（3）设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴

2k+b=1 -4k+b=0

，解得

k= 1 6 b= 2 3

，
∴直线AB′的解析式为y=

1

6

x+

2

3

，
设直线y=

1

6

x+

2

3

与抛物线的交点N₁，
∴

y= 1 6 x+ 2 3 y=- 1 4 x2+x

，解得

x= 4 3 y= 8 9

，
∴N₁（

4

3

，

8

9

）；
过M作MG⊥OA于G，
∵直线AB′的解析式为y=

1

6

x+

2

3

，
∴M（0，

2

3

0
∵直线OA的解析式为y=

1

2

x，
∴直线MG的解析式为y=-2x+

2

3

，
∴G（

4

15

，

2

15

），
作M关于OA的对称点M′，则G为MM′的中点，
∴M′（

8

15

，-

2

5

），
∴直线AM′的解析式为y=

21

22

x-

10

11

，
此时∠MAO=∠M′AO，
解

y= 21 22 x- 10 11 y= 1 4 x2+x

得

x=- 20 11 y=- 320 121

，
∴直线AM′和抛物线的交点N₂（-

20

11

，-

320

121

），
∴满足条件的N点在N₁与N₂之间，（原点除外），
∴-

20

11

＜x_N＜

4

3

且x_N≠0．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，轴对称-最短路线问题，直线和抛物线的交点问题，（3）求得交点坐标是本题的难点和关键．