Question

3．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D是△ABC外一点，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接CE，点F事CE的中点，射线DF与BC边的延长线交于点G，连接AG，若∠CBD=60°，∠ACE=90°，则线段AG的长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 过A作AH⊥BC于H，延长BD，CE交于M，解直角三角形得到AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{3}{2}$，根据平行线的判定定理得到BC∥DE，由平行线的性质得到∠EDF=∠CGF，根据全等三角形的性质得到CG=DE，由将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，得到BD=DE，根据三角形的内角和得到∠M=90°，根据平行线的性质得到∠DEM=30°，由直角三角形的性质得到DE=BD=2DM，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过A作AH⊥BC于H，延长BD，CE交于M，
∵等边三角形ABC中，AB=3，
∴AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{3}{2}$，
∵∠BDE=120°，∠CBD=60°，
∴∠BDE+∠CBD=180°，
∴BC∥DE，
∴∠EDF=∠CGF，
∵点F是CE的中点，
∴DF=CF，
在△DEF与△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠CGF}\\{∠DFE=∠GFC}\\{EF=CF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△GCF，
∴CG=DE，
∵将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，
∴BD=DE，
∴BD=DE=CG，
∵∠ACE=90°，∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°，
∴∠M=90°，
∵DE∥BC，
∴∠DEM=30°，
∴DE=BD=2DM，
∴BD=$\frac{2}{3}$BM，
∵BC=3，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$
∴BD=1，
∴CG=1，
∴HG=2.5，
∴AG=$\sqrt{A{H}^{2}+H{G}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．