Question

11．如图，二次函数y=a（x²-2mx-3m²）（其中a，m为常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C（0，-3），点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB平分∠DAE
（1）当a=1时，求点D的坐标；
（2）证明：无论a、m取何值，点E在同一直线上运动；
（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意将a=1，C（0，-3）代入y=a（x²-2mx-3m²），进而求出m的值，即可得出答案；
（2）首先根据题意表示出A，B，C，D，进而联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{m}x+1}\\{y=a（{x}^{2}-2mx-3{m}^{2}）}\end{array}\right.$，求出E点坐标即可得出答案；
（3）由（2）得：F（m，-4）、E（4m，5）、A（-m，0）、D（2m，-3），再利用PF，AD，AE的关系得出答案．

解答 解：（1）当a=1时，y=a（x²-2mx-3m²）=x²-2mx-3m²，
∵与y轴交于点C（0，-3），
∴-3m²=-3，
解得：m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∵C，D关于直线x=1对称，
∴D点坐标为：（2，-3）；

（2）作D关于AB对称的点D′必在AE上，
当y=0，则0=a（x²-2mx-3m²），
解得：x₁=-m，x₂=3m，
当x=0，y=-3am²，
可得：A（-m，0）、B（3m，0），C（0，-3am²），D（2m，-3am²）
∴D′（2m，3am²），
∵抛物线过点C，
∴-3am²=-3，
则am²=1，
∴直线AD′的解析式为：y=$\frac{1}{m}$x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{m}x+1}\\{y=a（{x}^{2}-2mx-3{m}^{2}）}\end{array}\right.$，整理得x²-3mx-4m²=0
解得x₁=4m，x₂=-m（舍去）
∴E（4m，5）
∴E在y=5上运动；

（3）由（2）得：F（m，-4）、E（4m，5）、A（-m，0）、D（2m，-3）
设P（b，0）
∴PF²=（m-b）²+16，AD²=9m²+9，AE²=25m²+25
∴（m-b）²+16+9m²+9=25m²+25，
解得：b₁=-3m，b₂=5m
∴P（-3m，0）或（5m，0）．

点评 本题考查了二次函数性质、勾股定理及函数图象上点的坐标性质等知识，正确解方程得出解集进而得出E点坐标是解题关键．