Question

2．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点D是抛物线的顶点．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）连接BC，BD，CD，若点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当S_△PBC=S_△BCD时，求m的值（点P不与点D重合）；
（3）连接AC，将△AOC沿x轴正方向平移，设移动距离为a，当点A和点B重合时，停止运动，设运动过程中△AOC与△OBC重叠部分的面积为S，请直接写出S与a之间的函数关系式，并写出相应自变量a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可求得A、B的坐标，令x=0，即可求得C的坐标，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据待定系数法求得直线BC的解析式，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，则x_D=1=x_E，求得y_E=-2，DE=2，进而得出S_△BCD=S_△BED+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×2=3，然后分两种情况分别讨论求得即可；
（3）分三种情况：①当0＜a≤1时，根据S=S_△AOC-S_△A′OE-S_△FGC′即可求得；②当1＜a≤3时，如图4，根据S=S_△AOC-S_△FGC′=即可求得；③当3＜a≤4时，如图5，S=$\frac{1}{2}$（4-a）×$\frac{3}{4}$（4-a）．

解答 解：（1）当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）；

（2）设BC：y=kx+b
 将B（3，0），C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC为y=x-3，
过点D作DE∥y轴，交BC于点E，
∵x_D=1=x_E，
∴y_E=-2，
∴DE=2，
∴S_△BCD=S_△BED+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×2=3，
过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，设P（m，m²-2m-3），Q（m，m-3）
①当P是BC下方抛物线上一点时，如图1，
∴${S_{△PCB}}={S_{△PBQ}}+{S_{△PQC}}=-\frac{3}{2}{m^2}+\frac{9}{2}m=3$．
∴m₁=-1（舍），m₂=2，
②当P是BC上方抛物线上一点时，如图2，
S_△PBC=S_△PQC-S_△PQB=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m=3，
解得m₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
综上：m的值为$\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}，\frac{{3-\sqrt{17}}}{2}，2$；

（3）①当0＜a≤1时，如图3，
∵OA′=1-a，O′C′=OC=3，
∵$\frac{AE}{O′C′}$=$\frac{OA′}{O′A′}$
即$\frac{AE}{3}$=$\frac{1-a}{1}$，
∴AE=3-3a，
∴CE=3a，
∵$\frac{O′G}{OC}$=$\frac{O′B}{OB}$，
即$\frac{O′G}{3}$=$\frac{3-a}{3}$，
∴O′G=3-a，
∴GC′=a，
∵$\frac{EC}{C′G}$=$\frac{3a}{a}$=$\frac{3}{1}$，
∴△FC′G边CG′上的高为$\frac{1}{4}$a，
∴S=S_△AOC-S_△A′OE-S_△FGC′=$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$（1-a）×（3-3a）-$\frac{1}{2}$a×$\frac{1}{4}$a=-$\frac{13}{8}$a²+3a；
②当1＜a≤3时，如图4，
∵GC=a，△FC′G边CG′上的高为$\frac{1}{4}$a，
∴S=S_△AOC-S_△FGC′=$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$a×$\frac{1}{4}$a=-$\frac{1}{8}$a²+$\frac{3}{2}$；
③当3＜a≤4时，如图5，
∵A′B=4-a，CC′=a，
设△A′FB边A′B上的高为h，则△CFC′边CC′的高为3-h，
∵△A′FB∽△C′FC，
∴$\frac{h}{3-h}$=$\frac{4-a}{a}$，解得h=$\frac{3}{4}$（4-a），
∴S=$\frac{1}{2}$（4-a）×$\frac{3}{4}$（4-a）=$\frac{3}{8}$a²-3a+6；
综上，$S=\left\{\begin{array}{l}-\frac{13}{8}{a^2}+3a（0＜a≤1）\\-\frac{1}{8}{a^2}+\frac{3}{2}（1＜a≤3）\\ \frac{3}{8}{a^2}-3a+6（3＜a≤4）\end{array}\right.$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，抛物线的交点坐标，三角形的面积等，分类讨论思想的应用是解题的关键．