Question

8．已知：P是正方形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂足，求证：DP=EF．

Answer 1

分析 连结PB，由正方形的性质得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后证明四边形BFPE是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP=EF，从而等量代换可证得问题的答案．

解答 证明：连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四边形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得四边形BFPE为矩形是解题的关键．