Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+2x+8的图象与一次函数y=-x+b的图象交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为-7．点P是二次函数图象上A、B两点之间的一个动点（不与点A、B重合），设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求b及sin∠ACP的值；
（2）用含m的代数式表示线段PD的长；
（3）连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为1：2？如果存在，直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得；
（2）已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式；
（3）在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．

解答：解：（1）∵当y=0时，-x²+2x+8=0，
∴x₁=-2，x₂=4∵点A在x轴负半轴上，
∴A（-2，0），OA=2，
∵点A在一次函数y=-x+b的图象上，
∴2+b=0，
∴b=-2，
∴一次函数表达式为y=-x-2，
设直线AB交y轴于点E，则E（0，-2），OE=OA=2，
∵PC⊥x轴交AB于点C，
∴PC∥y轴，
∴∠AEO=∠ACP=45°，
∴sin∠ACP=sin45°=

2

2

；

（2）∵点P在二次函数y=-x²+2x+8图象上且横坐标为m，
∴P（m，-m²+2m+8），
∵PC⊥x轴且点C在一次函数y=-x-2的图象上，
∴C（m，-m-2），
∴PC=-m²+3m+10，
∵PD⊥AB于点D，
∴在Rt△CDP中，sin∠ACP=

PD

PC

=

2

2

，
∴PD=-

2

2

m2+

3 2

2

m+5

2

；

（3）如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=

2

2

，
∴cos∠ACP=

2

2

，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=

2

2

，
在Rt△PDF中，DF=

2

2

PD=-

1

2

m²+

3

2

m+5，
又∵BG=5-m，
∴当

S△PCD

S△PBC

=

DF

BG

=

1

2

时，解得m=-1，
当

S△PCD

S△PBC

=

DF

BG

=2时，解得m=2，
∴m的值为-1和2．

点评：本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．