Question

如图，P₁、P₂、P₃…P_n（n为正整数）分别是反比例函数y=

k

x

（k＞0）在第一象限图象上的点，A₁、A₂、A₃…A_n分别为x轴上的点，且△P₁OA₁、△P₂A₁A₂、△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n均为等边三角形．若点A₁的坐标为（2，0），则点A₂的坐标为

 

，点A_n的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：作P₁B⊥x轴于B，P₂C⊥x轴于C，P₃D⊥x轴于D，由于△P₁OA₁为等边三角形，根据等边三角形的性质得OB=1，P₁B=

3

OB=

3

，则P₁的坐标为（1，

3

），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=

3

；设A₁C=t，由于△P₂A₁A₂为等边三角形，则P₂C=

3

A₁C=

3

t，所以P₂点的坐标表示为（t+2，

3

t），
根据反比例函数图象上点的坐标特征得（t+2）•

3

t=

3

，解得t=

2

-1或t=-

2

-1（舍去），则A₁A₂=2t=2

2

-2，可得A₂点的坐标为（2

2

，0），
同理得到A₃点的坐标为（2

3

，0），由此规律得A_n点的坐标为（2

n

，0）．

解答：解：作P₁B⊥x轴于B，P₂C⊥x轴于C，P₃D⊥x轴于D，如图，
∵△P₁OA₁为等边三角形，A₁（2，0），
∴OB=1，P₁B=

3

OB=

3

，
∴P₁的坐标为（1，

3

），
∴k=1×

3

=

3

，
设A₁C=t，
∵△P₂A₁A₂为等边三角形，
∴P₂C=

3

A₁C=

3

t，
∴P₂点的坐标为（t+2，

3

t），
∴（t+2）•

3

t=

3

，解得t=

2

-1或t=-

2

-1（舍去），
∴A₁A₂=2t=2

2

-2，
∴OA₂=2

2

，
∴A₂点的坐标为（2

2

，0），
同理得到A₃点的坐标为（2

3

，0），
∴A_n点的坐标为（2

n

，0）．
故答案为（2

2

，0），（2

n

，0）．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=

k

x

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等边三角形的性质．