Question

3．如下图，已知△ABC周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2017个三角形周长为（　　）

• A． $\frac{1}{2016}$
• B． $\frac{1}{2017}$
• C． $\frac{1}{{2}^{2016}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{2017}}$

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理、相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．

解答 解：∵连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，
由三角形中位线定理可知，第二个三角形与△ABC相似，且相似比为$\frac{1}{2}$，
同理第三个三角形与△ABC相似，且相似比为$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
则第2017个三角形周长为$\frac{1}{{2}^{2016}}$，
故选：C．

点评 本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．