Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=-

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2

x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l₂：y=

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2

x交于点A．

（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是x轴上的点，使得P到点A、D的距离和最小；求点P的坐标．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题,轴对称-最短路线问题

专题：计算题

分析：（1）根据两直线相交的问题解方程组

y=- 1 2 x+6 y= 1 2 x

即可得到A点坐标为（6，3）；再利用坐标轴上点的坐标特征可确定B点坐标为（12，0），C点坐标为（0，6）；
（2）设D点坐标为（t，

1

2

t），根据三角形面积公式得到

1

2

•6•

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2

t=12，解得t=8，则D点坐标为（8，4），然后利用待定系数法求直线CD的解析式；
（3）作点A关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于P点，利用对称得到PA=PE，则PA+PD=PE+PD=DE，根据两点之间线段最短得此时点P点A、D的距离和最小，
再利用待定系数法求出直线DE的解析式，然后利用x轴上点的坐标特征可确定P点坐标．

解答：解：（1）解方程组

y=- 1 2 x+6 y= 1 2 x

得

x=6 y=3

，则A点坐标为（6，3）；
把y=0代入y=-

1

2

x+6得-

1

2

x+6=0，解得x=12，则B点坐标为（12，0）；
把x=0代入y=-

1

2

x+6得y=6，则C点坐标为（，6）；
（2）设D点坐标为（t，

1

2

t），
则

1

2

•6•

1

2

t=12，解得t=8，
所以D点坐标为（8，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，6）、D（8，4）代入得

b=6 8k+b=4

，解得

k=- 1 4 b=6

，
所以直线CD的解析式为y=-

1

4

x+6；
（3）作点A关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于P点，
∵点A与点E关于x轴对称，
∴PA=PE，
∴PA+PD=PE+PD=DE，
∴此时点P点A、D的距离和最小，
∵点A（6，4），
∴点E的坐标为（6，-4），
设直线DE的解析式为y=mx+n，
把D（8，4）、E（6，-4）代入得

8m+n=4 6m+n=-4

，解得

m=4 n=-28

，
∴直线DE的解析式为y=4x-28，
把y=0代入得4x-28=0，解得x=7，
∴P点坐标为（7，0）．

点评：本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．