Question

温州龙港礼品城某店经销一种工艺品，已投资3000元进行店面装修．已知这种工艺品单个成本50元．据调查，销量w（个）随销售单价x（元/个）的变化而变化，具体变化规律如下表所示

销售单价x	…	70	75	80	85	90	…
销售量w	…	100	90	80	70	60	…

设该店销售这种工艺品的月销售利润为y（元）
（1）能否用一次函数刻画w与x的关系？如果能，请直接写出w与x之间的函数关系式；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时，y的值最大？
（3）若在第一个月里，按y获得最大值的销售单价进行销售后，店主发现未收回前期投资，准备降价促销，预计在第二个月全部收回投资的基础上再盈利1450元，那么第二个月这种礼品单价应确定为多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）首先判断w与x的函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用月销售利润=销量×每件商品的利润，进而求出最值；
（3）首先求出第1个月还有3000-2450=550元的投资成本没有收回，再利用预计在第二个月全部收回投资的基础上再盈利1450元，进而得出等式方程，求出第二个月这种礼品单价．

解答：解：（1）由表格中数据可得出：w与x是一次函数关系，设w=kx+b，则将（70，100），（75，90）代入得出：

70k+b=100 75k+b=90

，
解得：

k=-2 b=240

故w与x之间的函数关系式为：w=-2x+240；

（2）y与x的关系式为：
y=（x-50）•w
=（x-50）（-2x+240）
=-2x²+340x-12000
=-2（x-85）²+2450，
∴当x=85时，y的值最大为2450元．

（3）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，
∴第1个月还有3000-2450=550元的投资成本没有收回．
则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1450元，即y=2000才可以，
可得方程-2（x-85）²+2450=2000，
解得：x₁=70，x₂=100．
根据题意，可知x₂=100不合题意应舍去．
答：当销售单价为70元时，可获得销售利润2000元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1450元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法以及一元二次方程的解法等知识，得出y与x的函数关系式是解题关键．