Question

已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线上共有三个点到BC的距离为m，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：先求得抛物线与坐标轴的交点，然后求得直线BC的解析式，根据平移的性质写出直线平移后的方程，则第三个点一定是直线MN与抛物线的唯一公共点，联立抛物线的方程，使判别式等于0，即可得出b的平移后的直线方程，作CP⊥MN于P，即可得出m的值．

解答：解：∵抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
令y=0，则0=-x²+2x+3，解得：x=3，或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）、C（0，3），
∴直线BC：y=-x+3，将直线BC向上平移b个单位得直线MN：y=-x+3+b，
则第三个点一定是直线MN与抛物线的唯一公共点，
联立

y=-x+3+b y=-x2+2x+3

，
消去y得：x²-3x+b=0，
由△=0
得到b=

9

4

，
作CP⊥MN于P，则∠CMN=∠OCB=45°，
CM=

9

4

，
∴m=CP=

9 2

8

．

点评：此题考查了抛物与坐标轴的交点、直线平行的性质、等腰直角三角形的性质以及解直角三角形等重要知识点本题的难点在于考虑问题要全面，读懂题意．