题目内容
7．已知，矩形ABCD中．AB=4cm，BC=8cm，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE，试证明：四边形AFCE为菱形；
（2）求AF的长；
（3）如图2，动点P以每秒5cm的速度自A→F→B→A运动、同时点Q以每秒4cm的速度自C→D→E→C运动，当点P到达A点时两点同时停止运动．若运动t秒后，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
分析 （1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
（2）根据勾股定理即可求AF的长；
（3）分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）解：设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5；
（3）解：根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{4}{3}$秒．
点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、菱形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质等知识；本题难度较大，综合性强，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形形状是解答本题的关键．
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
如图，正方形ABCD的边长为12，AE=ED，2CP=PE，求阴影部分的面积．
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．
| A． | 31 | B． | 46 | C． | 51 | D． | 64 |