Question

10．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，正方形的边长为4，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值；
（3）已知D、C、F、E四点在同一个圆上，连接CE、DF，若sin∠CEF=$\frac{3}{5}$，求此圆直径．

Answer 1

分析 （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△BEF；
（2）根据相似三角形的性质得到成比例相等，代入已知数据整理即可得到二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）根据同弧所对的圆周角相等和锐角三角函数的概念求出DF的长，得到答案．

解答 （1）证明：∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°，又∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEF，又∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEF；
（2）解：∵△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，又AE=x，BF=y，AD=4，
∴$\frac{4}{x}$=$\frac{4-x}{y}$，
解得，y=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
∴当x=2时，y有最大值，最大值为1；
（3）解：∵D、C、F、E四点共圆，
∴∠CEF=∠CDF，
∴sin∠CEF=sin∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=$\frac{3}{5}$，又CD=4，
∴DF=5，
∵∠DCF=90°，
∴DF为此圆直径，
∴此圆直径为5．

点评 本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质以及四点共圆的知识，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．