Question

如图，在△ABC中，AB=AC，O是AB上一点，以O为圆心的圆经过点A，交AB于点F，与BC相切于点E．点D为BC的中点，连结AD、OE、AE．
（1）求证：AD∥OE；
（2）若∠B=30°时，求∠DAE的度数；
（3）当BC=16，AD=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）由切线的性质得到OE⊥BC；由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，即可解决问题．
（2）首先证明∠DAB=60°，进而证明∠DAE=∠OAE，即可解决问题．
（3）运用勾股定理求出AB的长；证明△BOE∽△BAD，列出关于半径的比例式即可解决问题．

解答：解：（1）∵⊙O与BC相切，
∴OE⊥BC；
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD∥OE．
（2）∵∠ADB=90°，∠B=30°，
∴∠DAB=60°；
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，而AD∥OE，
∴∠DAE=∠OEA，
∴∠DAE=∠OAE=30°，
∴∠DEA=60°．
（3）BD=

1

2

×BC=8；
由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，
而AD=6，BD=8，
∴AB=10；设⊙O的半径为λ，
则BO=10-λ；
∵OE∥AD，
∴△BOE∽△BAD，
∴

10-λ

10

=

λ

6

，
解得：λ=

15

4

，
即⊙O的半径为

15

4

．

点评：该题主要考查了切线的性质及其应用问题；同时还渗透了对等腰三角形的性质、圆的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的考查；灵活运用是解题的关键．