Question

9．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）若△ABC和△A₁B₁C₁关于原点O成中心对称图形，画出△A₁B₁C₁；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB₂C₂；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B₁与点C₁距离之和最小，请直接写出P B₁+P C₁的最小值为$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A₁、B₁、C₁的坐标，从而得到△A₁B₁C₁；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B₂、C₂，从而得到△AB₂C₂；
（3）作C₁点关于x轴的对称点C′，连接B₁C′交x轴于P点，则PC₁=PC′，则P B₁+P C₁=P B₁+P C′=B₁C′，利用两点之间线段最短可得到此时P B₁+P C₁的值最小值，然后利用勾股定理计算出B₁C′即可．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁所作；
（2）如图，△AB₂C₂为所作；
（3）作C₁点关于x轴的对称点C′，连接B₁C′交x轴于P点，
则PC₁=PC′，P B₁+P C₁=P B₁+P C′=B₁C′=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
所以P B₁+P C₁的最小值为$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．