Question

已知在等边△ABC中，D、E、F、G、H、L是三边的三等分点．求证：六边形DEFGHL是正六边形．

Answer 1

考点：正多边形和圆,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：先由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=a，再根据三等分点的意义可得AD=DE=BE=BF=FG=GC=CH=HL=AL=

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a，由AD=AL及∠A=60°判定△ADL是等边三角形，那么DL=AD=AL=

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a，∠ADL=∠ALD=60°，进而得出六边形DEFGHL的各条边都相等，各个角也相等，从而判定六边形DEFGHL是正六边形．

解答：证明：设△ABC的边长为a．
如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=a，
∵D、E、F、G、H、L是三边的三等分点，
∴AD=DE=BE=BF=FG=GC=CH=HL=AL=

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a，
∴△ADL是等边三角形，
∴DL=AD=AL=

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a，∠ADL=∠ALD=60°，
同理EF=GH═

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a，∠BEF=∠BFE=60°，∠CGH=∠CHG=60°，
∴DL=DE=EF=FG=GH=HL=

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a；∠LDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHL=∠HLD=180°-60°=120°，
∴六边形DEFGHL是正六边形．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，正六边形的判定，难度适中．掌握正六边形的定义是解题的关键．