Question

20．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求直线DB的解析式；
（3）若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标；
（4）过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后化为顶点式求出D点坐标；
（2）设直线DB的解析式为y=kx+b，把B，D点的坐标分别代入即可求出直线的解析式；
（3）把点P的横坐标m代入直线BD的解析式，即可用含m的代数式表示点P的纵坐标；
（4）本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式，这个表达式是关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值，并求出P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
又∵抛物线 与y轴交于点C（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
∴a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3），
即抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线BD的解析式为：y=kx+b
由B（3，0），D（1，4）得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线BD的解析式为y=-2x+6；
（3）∵点P在直线PD上，点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为：-2m+6；
（4）由以上可知：OA=1，OC=3，OM=m，PM=-2m+6，
∴S_{四边形PMAC}=S_△OAC+S_梯形OMPC
=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$（3-2m+6）•m，
=-m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{3}{2}$，
=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{105}{16}$
∵1＜$\frac{9}{4}$＜3，a=-1＜0，
∴当m=$\frac{9}{4}$时，四边形PMAC的面积取得最大值为$\frac{105}{16}$，
此时点P的坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式、二次函数的极值、图形面积的求法、涉及考点众多，对学生的综合性解题能力要求挺高，题目的难度中等．