Question

12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，
（1）求AD的长；
（2）若∠B=28°，求弧$\widehat{AD}$的度数；
（3）若点P是线段AB上的动点，则线段CP的长度取值范围是$\frac{18}{5}$≤CP≤4．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACD=34°，于是得到结论；
（3）根据题意即可得到结论．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=$\frac{12}{5}$，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即9=AM²+（$\frac{12}{5}$）²，
解得：AM=$\frac{9}{5}$，
∴AD=2AM=$\frac{18}{5}$；
（2）∵∠ACB=90°，∠B=28°，
∴∠A=62°，
连接CD，
∵AC=CD，
∴∠CDA=∠A=28°，
∴∠ACD=34°，
∴弧$\widehat{AD}$的度数是34°；
（3）线段CP的长度取值范围是$\frac{18}{5}$≤CP≤4．
故答案为：$\frac{18}{5}$≤CP≤4．

点评 本题考查的是垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．