Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD²=BD²+CD²．求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：证明题

分析：作AE⊥BC于E，由于AB=AC，所以BE=CE，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，BD=ED+BE，CD=CE-DE，代入2AD²=BD²+CD²求出AE=BE=CE三者之间的关系，得到∴△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，即可得证．

解答：证明：作AE⊥BC于E，如图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴BE=CE，
由勾股定理可得：
AD²=AE²+DE²，
∵BD²+CD²=（BE+ED）²+（CE-DE）²=BE²+CE²+2DE²，
∵2AD²=BD²+CD²，
∴2AE²+2DE²=BE²+CE²+2DE²，
∴2AE²=BE²+CE²，
∴AE=BE=CE，
∴△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠CAE=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评：本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BE、CE、AE三者之间的关系．