Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x(x＞0)．

(1)△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示)，当x＝2时，点G的位置在_______；

(2)若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求

①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；

②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

(3)探求(2)中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)x，D点；　3分 　　(2)①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；　6分 　　②分两种情况： 　　Ⅰ．当2＜x＜3时，如图，点E、点F在线段BC上， 　　△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM， 　　∵∠FNC＝∠FCN＝30°，∴FN＝FC＝6－2x．∴GN＝3x－6． 　　由于在Rt△NMG中，∠G＝60°， 　　所以，此时y＝x2－(3x－6)2＝．　9分 　　Ⅱ．当3≤x≤6时，如图，点E在线段BC上，点F在射线CH上， 　　△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP， 　　∵EC＝6－x， 　　∴y＝(6－x)2＝．　11分 　　(3)当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大， 　　∴x＝2时，y最大＝； 　　当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝； 　　当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小， 　　∴x＝3时，y最大＝．　12分 　　综上所述：当x＝时，y最大＝．　13分