Question

7．如图，直线y=x+2交y轴、x轴于点A，B两点，点F的坐标为（-2，2），双曲线y=$\frac{k}{x}$过线段AF的中点，在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上取一点P，连接PF并延长交双曲线于点Q，过P点作x轴的平行线交直线AB于点M．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求证：PM=PF；
（3）若线段PQ的长为5，求直线PQ的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出线段AF的中点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2））设P（m，-$\frac{2}{m}$），求出PF、PM的长即可角问题．
（3）设直线PQ的解析式为y=kx+b，把（-2，2）代入得到b=2+2k，推出直线PQ的解析式为y=kx+2+2k，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{x}}\\{y=kx+2+2k}\end{array}\right.$，消去y得到，kx²+2（1+k）x+2=0，推出x₁+x₂=-$\frac{2（1+k）}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，推出y₁+y₂=$\frac{-2}{{x}_{1}}$+$\frac{-2}{{x}_{2}}$=-2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2+2k，y₁•y₂=$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k，由PQ=5，推出（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=25，推出（x₁+x₂）²-4x₁x₂+（y₁+y₂）²-4y₁y₂=25，可得$\frac{4（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$-$\frac{8}{k}$+（2+2k）²-8k=25，解方程求出k即可．

解答 解：（1）由题意A（0，2），B（-2，0），
∵F（-2，2），
∴AF的中点坐标为（-1，2），代入y=$\frac{k}{x}$得到k=-2，
∴双曲线的解析式为y=-$\frac{2}{x}$．

（2）设P（m，-$\frac{2}{m}$），
∵F（-2，2），
∴PF=$\sqrt{（m+2）^{2}+（-\frac{2}{m}-2）^{2}}$
=$\sqrt{（-\frac{2}{m}-2）^{2}-2•m（-\frac{2}{m}-2）+{m}^{2}}$
=$\sqrt{（-\frac{2}{m}-2-m）^{2}}$
=-$\frac{2}{m}$-2-m，（注意：-$\frac{2}{m}$-m-2＞0），
∵PM∥x轴，
∴M（-$\frac{2}{m}$-2，-$\frac{2}{m}$），
∴PM=-$\frac{2}{m}$-m-2，
∴PF=PM．

（3）设直线PQ的解析式为y=kx+b，把（-2，2）代入得到b=2+2k，
∴直线PQ的解析式为y=kx+2+2k，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{x}}\\{y=kx+2+2k}\end{array}\right.$，消去y得到，kx²+2（1+k）x+2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2（1+k）}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，
∴y₁+y₂=$\frac{-2}{{x}_{1}}$+$\frac{-2}{{x}_{2}}$=-2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2+2k，y₁•y₂=$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k，
∵PQ=5，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=25，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂+（y₁+y₂）²-4y₁y₂=25，
∴$\frac{4（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$-$\frac{8}{k}$+（2+2k）²-8k=25，
整理得4（1+k²）²=25k²，
∴2（1+k²）=±5k，
∴2k²+5k+2=0或2k²-5k+2=0
∴k=2或$\frac{1}{2}$或-2或-$\frac{1}{2}$，
由题意k＞0，
∴直线PQ的解析式为y=2x+6或y=$\frac{1}{2}$x+3．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、两点间距离公式、一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．