Question

19．如图，点A（a，a+5）和点B（6，a+1）都在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上．
（1）求k的值；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入k=a（a+5）中即可求出k值；
（2）根据a的值可找出点A、B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可找出点C的坐标，根据三角形的面积结合点A、B的横坐标即可求出△AOB的面积．

解答 解：（1）∵点A（a，a+5）和点B（6，a+1）都在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上，
∴k=a（a+5）=6（a+1），整理得：a²-a-6=（a+2）（a-3）=0，
解得：a=-2或a=3（舍去），
∴k=a（a+5）=-2×（-2+5）=-6．
（2）∵a=-2，
∴A（-2，3），B（6，-1）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（-2，3）、B（6，-1）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{6k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设直线AB与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×2×[6-（-2）]=8．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、因式分解法解一元二次方程、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征找出关于a的一元二次方程；（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式．