Question

20．如图，∠BAC=60°，AD为⊙O的直径，AD交BC于E，且BE=2CE，则$\frac{AB}{AD}$的值（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 连接BO并延长交⊙O于F，连接BD、CF，由圆周角定理得出∠F=∠BAC=60°，∠ABD=∠BCF=90°，设CF=x，则BF=2x，BC=$\sqrt{3}$x，由已知条件得出BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，证出$\frac{BE}{BF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{BO}{BC}$，再由公共角∠CBF=∠OBE，证明△BOE∽△BCF，得出∠BOE=∠BCF=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠BAD=45°，即可得出结果．

解答 解：连接BO并延长交⊙O于F，连接BD、CF，如图所示：
则∠F=∠BAC=60°，
∵AD是直径，BF是直径，
∴∠ABD=∠BCF=90°，
设CF=x，则BF=2x，BC=$\sqrt{3}$x，
∵BE=2CE，
∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{BO}{BC}$，
∵∠CBF=∠OBE，
∴△BOE∽△BCF，
∴∠BOE=∠BCF=90°，
∵AO=BO，
∴∠BAD=45°，
∴$\frac{AB}{AD}$=cos∠BAD=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故选：B．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．