Question

9．如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．
（1）求线段CF的长度；
（2）求证：AB=DG+CE．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DE的长，进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法得出△ADG≌△FDM（ASA），进而得出△AND≌△ECD（ASA），求出ND=MN+DM=EC+DG=AB．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAF=∠DFA，
∵∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵CE=3，AB=5，DE⊥BC于点E，
∴DC=5，
∴DE=AD=4，
∴DF=4，
∴FC=1；

（2）证明：如图2，过点A作AD的垂线交DH的延长线于点N，
∵DH⊥AB，AB∥DC，
∴∠HDF=90°，
在△ADG和△FDM中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠DFM}\\{AD=DF}\\{∠ADG=∠MDF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△FDM（ASA），
∴DM=DG，∠5=∠4，
∵AN∥DE，
∴∠NAM=∠4，
∴∠NAM=∠6=∠5=∠4，
∴AN=MN，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△AND和△ECD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AD=DE}\\{∠DAN=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△ECD（AAS），
∴AN=EC，DN=DC=AB，
∴NM=EC，
∴ND=MN+DM=EC+DG=AB．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ADG≌△FDM（ASA）是解题关键．