如图.在△ABC中.∠ACB=90°.∠ABC=30°.BC=6.点D在BC上.CD=1．动点M从C点出发.以1个单位/秒的速度沿直线CB向右匀速运动.同时.动点N从D点出发.以2个单位/秒的速度沿直线CB向右匀速运动.以MN为一边在CB的上方作等边三角形△PMN．设运动时间为t(s).△PMN与△ABC重叠部分的面积为S．(1)△PMN的边长=t+1.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6，点D在BC上，CD=1．动点M从C点出发，以1个单位/秒的速度沿直线CB向右匀速运动，同时，动点N从D点出发，以2个单位/秒的速度沿直线CB向右匀速运动，以MN为一边在CB的上方作等边三角形△PMN．设运动时间为t（s），△PMN与△ABC重叠部分的面积为S．

（1）△PMN的边长=t+1（用含有t的代数式表示），当t=$\frac{4}{3}$秒时，点P落在AB上；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在M、N运动的同时，以点A为圆心、t为半径的⊙A也在不断变化，直接写出⊙A与△PMN的三边所在的直线相切时t的值．

分析（1）根据题意，直接将△PMN的三边相加即可得出含t的表达式；易得△NPB为等腰三角形，可得到NB=NP=NM=t+1，又NB=CB-CM-MN，两式联立即有5-2t=t+1，解之即可得出t．
（2）易得重叠部分为一个小等边三角形，依题意分别得出底边及其对应的高即可得出重叠部分的面积．
（3）结合题意，可知有三种情况，①以点A为圆心、tcm为半径的⊙A与MN所在的直线相切，②⊙A与MN所在的直线相切，③⊙A与PN所在的直线相切；分别利用切线的性质以及勾股定理，即可得出各种情况对应的t值．

解答解：（1）△PMN的边长MN=CN-CM=（CD+DN）-CM=（1+2t）-t=（t+1）cm；
∵当t为某值时，点P落在AB上，三角形PMN是等边三角形，
∴NB=NP=MN=t+1，∠PND=60°，
∴∠PNB=120°，∠PNB=30°，
∴△PNB为等腰三角形，
∵Q=NB=CB-CM-PMN=6-t-（t+1）=5-2t，
∴5-2t=t+1，
解得：t=$\frac{4}{3}$s；
故答案为：t+1，$\frac{4}{3}$；

（2）分为四种情况：①当0≤t＜$\frac{4}{3}$时，如图1：重叠部分是△PMN，
∵△PMN的边长为t+1，
∴高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t+1）cm，
∴S=$\frac{1}{2}$×（t+1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t+1）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t+1）²；
②当$\frac{4}{3}$≤t＜$\frac{5}{2}$时，如图2：重叠部分为四边形MNFE，
∵∠B=30°，且△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠P=60°，
∴∠PEF=90°，且MB=BC-CM=6-t，∠PFE=30°，
∴PE=$\frac{1}{2}$（6-t），
∴EP=PM-NF=（t+1）-$\frac{1}{2}$（6-t）=$\frac{1}{2}$（3t-4），
∴EF=M=EP•tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3t-4），
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t+1）²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3t-4）²
=-$\frac{7\sqrt{3}}{8}$t²+$\frac{7\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{7\sqrt{3}}{4}$
=-$\frac{7\sqrt{3}}{8}$（t-2）²+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
③当$\frac{5}{2}$≤t＜6时，如图3：同理可得y=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（6-t）²；
④当t≥6时，如图4：此时y=0．

（3）（一）如图a，
⊙A与PN所在的直线相切时，切点为F，F在PN的延长线上，AB与FN交于L点，
AF=t，得到AL=2t，
NB=5-2t，得到BL=$\sqrt{3}$（5-2t），
AB=4$\sqrt{3}$=BL-AL=$\sqrt{3}$（5-2t）-2t，
得到t=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．
即t=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．
如图b，若FP交AB与E，
∵⊙A半径=AF=t，则AE=2t，NE=NB=5-2t，BE=$\sqrt{3}$（5-2t），
AB=4$\sqrt{3}$=BE+AE=$\sqrt{3}$（5-2t）+2t，
∴t=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，
（二）如图c：
当⊙A与MN所在的直线相切时，
∵AC⊥MN所在的直线，
∴⊙A半径=AC=t=2$\sqrt{3}$．
此时，若设AB与PM相交于G，
则AG=⊙A半径=2$\sqrt{3}$，
∴BM=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠MGB=90°，
∴⊙A 也同时与PM相切．

（三）如图d：
⊙A与PM所在的直线相切时，切点为E，可知道点E在AB延长线上，
在Rt△MBE中，∠ABC=30°，有AE=t，BE=AE-AB=t-4$\sqrt{3}$，斜边MB=CM-BC=t-6，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}$MB=BE，有$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-6）=t-4$\sqrt{3}$，
得到t=4$\sqrt{3}$+6；

综上所述，当⊙A与QR所在的直线相切时，t=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$或t=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，；
当⊙A与PQ所在的直线相切时，t=2$\sqrt{3}$；
当⊙A与PR所在的直线相切，t=4$\sqrt{3}$+6．

点评本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，最后一问属于开放性试题，主要考查的是切线性质的实际应用；本题是一道动态几何题，综合性较强，有一定的难度．

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