Question

10．如图，△ABC中，∠A=α°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A₁，∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，依此类推，∠A_n-1BC与∠A_n-1CD的平分线相交于点A_n，则∠A_n的度数为（　　）

• A． ${（{\frac{α}{n}}）°}$
• B． ${（{\frac{α}{2n}}）°}$
• C． ${（{\frac{α}{2^n}}）°}$
• D． ${（{\frac{α}{{{2^{n+1}}}}}）°}$

Answer 1

分析 由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠A=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出规律．

解答 解：∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A₁=α，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$α°，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠A=2²∠A₂=α°，
∴∠A₂=$\frac{1}{4}$α°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=α°•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（$\frac{α}{{2}^{n}}$）°．
故选C．

点评 本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．