阅读与计算:请阅读以下材料.并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式 :如果一个三角形的三边长分别为a.b.c.设p=$\frac{a+b+c}{2}$.则三角形的面积S=$\sqrt{p}$．我国南宋著名的数学家秦九韶.曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式 :如果一个三角形的三边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=$\frac{a+b+c}{2}$，则三角形的面积S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于6$\sqrt{6}$．
（2）若一个三角形的三边长分别是$\sqrt{5}、\sqrt{6}、\sqrt{7}$，求这个三角形的面积．

分析（1）把a、b、c的长代入求出S²，再开方计算即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出S²，再开方计算即可得解．

解答解：（1）p=$\frac{a+b+c}{2}$=$\frac{5+6+7}{2}$=9，
S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$
=$\sqrt{9×（9-5）×（9-6）×（9-7）}$
=6$\sqrt{6}$．
答：这个三角形的面积等于6$\sqrt{6}$．
（2）S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}[{（\sqrt{5}）}^{2}{×（\sqrt{6}）}^{2}-（\frac{（{\sqrt{5}）}^{2}+（\sqrt{6}）^{2}-（{\sqrt{7}）}^{2}}{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}[5×6-（\frac{5+6-7}{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}（30-4）}$
=$\frac{\sqrt{26}}{2}$．
答：这个三角形的面积是$\frac{\sqrt{26}}{2}$．
故答案为：6$\sqrt{6}$．

试题分类