Question

19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{ED}$=$\frac{AC}{AD}$．
（1）求证：∠BAE=∠CAD；
（2）求证：△ABE∽△ACD．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△AED，由相似三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，根据角的和差即可得到结论；
（2）由已知条件得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，根据∠BAE=∠CAD，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即可得到结论．

解答 证明：（1）在△ABC与△AED中，
∵$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{ED}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF，
即∠BAE=∠CAD；

（2）∵$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
在△ABE与△ACD中，
∵∠BAE=∠CAD，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴△ABE∽△ACD．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．