Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．
（1）利用尺规∠EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动．
①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；
②填空：当t=6秒时四边形APCQ一定是矩形；
③填空：当t=$\frac{25}{3}$秒时四边形APCQ一定是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用尺规作图作出已知角的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质、矩形的性质及菱形的性质分别求得t的值即可．

解答 解：（1）作图如下：

（2）①∵AP平分∠EAC，∠EAC=2∠B=2∠C，
∴∠PAC=∠C，
∴AP∥BC，
∵点P和点Q的速度均为1cm/s，
∴AP=CQ，
∴AO=CO；
②∵当∠AQC=90°时，四边形AQCP为矩形，
此时AQ⊥BC，CQ=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴当t=6时，四边形AQCP为矩形；
③如图3：当四边形APCQ是菱形时，AQ=CQ，
作AD⊥CQ于点D，
则CD=$\frac{1}{2}$BC=6，
CQ=AQ=t，QD=t-6，
在Rt△AQD中，
AQ²=QD²+AD²，
即：t²=（t-6）²+8²，
解得：t=$\frac{25}{3}$，
∴当t=$\frac{25}{3}$时，四边形AQCP为菱形．

点评 考查了菱形的判定、等腰三角形的性质及矩形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．