Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c过点（-1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：
①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y₁）与点（-3，y₂），则y₁＞y₂；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（-$\frac{c}{a}$，0）；⑤am²+bm+a≥0，其中所有正确的结论是②④⑤．

Answer 1

分析 由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a＞0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=-$\frac{c}{a}$时，y=a•（-$\frac{c}{a}$）²+b•（-$\frac{c}{a}$）+c=$\frac{c（a-b+c）}{a}$且a-b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=-2a可判断⑤．

解答 解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；

∵抛物线y=ax²+bx+c过点（-1，0），且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax²+bx+c过点（3，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；

∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y₁＜y₂，故③错误；

当x=-$\frac{c}{a}$时，y=a•（-$\frac{c}{a}$）²+b•（-$\frac{c}{a}$）+c=$\frac{{c}^{2}-bc+ac}{a}$=$\frac{c（a-b+c）}{a}$，
∵当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴当x=-$\frac{c}{a}$时，y=a•（-$\frac{c}{a}$）²+b•（-$\frac{c}{a}$）+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（-$\frac{c}{a}$，0），故④正确；

x=m对应的函数值为y=am²+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am²+bm+c≥a+b+c，即am²+bm≥a+b，
∵b=-2a，
∴am²+bm+a≥0，故⑤正确；
故答案为：②④⑤．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．