Question

2．已知：一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$=0．
（1）对于任意实数k，判断方程的根的情况，并说明理由
（2）设k＜0，当二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数与方程的关系，求出△的值，根据△的数值判定解的情况．
（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．

解答 解：（1）方程总有两个实数根；
∵△=k²-4×$\frac{1}{2}$×（k-$\frac{1}{2}$）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$=0．，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）令y=0，则x²+2kx+2k-1=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|=$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$=$\sqrt{4{k}^{2}-8k+4}$=2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1．
∴k=-1．

点评 本题主要考查了二次函数与方程的联系，抛物线与x轴的交点坐标以及根的判别式的运用，灵活利用两点之间的距离公式解决问题．