Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8．D是AB的中点，将△BCD沿BA方向以每秒一个单位长度运动平移，得到△EFG，FG交AC于H．
（1）求证：△AGH是等腰三角形；
（2）设运动时间为t（0≤t≤10），△EFG与△ABC重合部分的面积为S．求S与t之间的函数关系．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理,平移的性质

专题：

分析：（1）若要证明△AGH是等腰三角形，可转化为：∠AHG=∠A，
（2）本题要分类讨论：当0≤t≤5依题意可得：S=S_△AME-S_△AGH，当5≤t≤10，△EFG与△ABC重合部分的面积为△EMA的面积，利用三角形的面积公式计算即可．

解答：（1）证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A，
∵△BCD沿BA方向平移，得到△EFG，
∴GH∥CD，
∴∠ACD=∠AHG，
∴∠AHG=∠A，
∴△AGH是等腰三角形；                  

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴由勾股定理得BC=6，
∵△ABC中，∠ACB=90°D是AB的中点，
∴S_△CDA=

1

2

S_△ABC=12，
∵△BCD沿BA方向平移，得到△EFG，
∴∠AEM=∠B，
∴∠AEM+∠A=90°，
∴∠AME=90°，
∵GH∥CD，
∴△AGH∽△ADC，
∵AG=5-t，AD=5，
∴

S△AGH

S△ADC

=(

5-t

5

)2，
∴S_△AGH=

12

25

t²-

24

5

t+12，
当0≤t≤5依题意可得：AE=10-t，
在△AME中，∠AME=90°，
AM=AEcos∠A=

4

5

（10-t），
EM=AEsin∠A=

3

5

（10-t），
∴S=S_△AME-S_△AGH=

1

2

×

4

5

（10-t）×

3

5

（10-t）-（

12

25

t²-

24

5

t+12）=-

6

25

t²+12，
当5≤t≤10，△EFG与△ABC重合部分的面积为△EMA的面积，
依题意可得：AE=10-t，
在△AME中，∠AME=90°，
AM=AEcos∠EAM=

4

5

（10-t），
ME=AEsin∠EAM=

3

5

 （10-t），
∴S=

1

2

×ME×AM=

1

2

×

3

5

（10-t）×

4

5

（10-t）=

6

25

 t²-

24

5

t+24．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及列二次函数关系式，题目的信息量很大，牵扯到的知识点很多，对学生的解题能力要求很高．