Question

10．在△ABC中，∠B=∠C，
（1）如图1，点D、E分别在BC与AC上，∠ADE=∠AED，求证：∠BAD=2∠CDE；
（2）如图2，将∠CAH沿AH翻折到∠QAH，AH⊥QF于H，QH交BC于F，BP平分∠ABC，QP平分∠AQF，BP与QP交于P，试探究∠P与∠BFQ的关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理得出∠BAD=180°-2∠C-∠DAC，∠DAC=180°-∠ADE-∠AED，由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠C+∠CDE，从而可以得到结论成立．
（2）根据△BOC和△QOF中，∠BOP=∠QOF，可知∠1+∠P=∠2+∠BFQ，又因为BP平分∠ABC，QP平分∠AQF，进行变化，便可得到∠P与∠BFQ的关系．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，∠BAD=180°-2∠C-∠DAC，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=180°-2∠C-∠DAC=180°-2∠C-（180°-2∠AED）=180°-2∠C-180°+2∠AED=-2∠C+2（∠CDE+∠C）=2∠CDE．
（2）解：如图所示：

由题意可得，∠ABC=∠ACB，∠ABC=2∠1，∠AQC=∠ACQ，∠AQC=2∠2，∠ACQ=∠ACB+∠BFQ，
又∵∠BOP=∠QOC，
∴∠1+∠P=∠2+∠BFQ．
即$\frac{1}{2}∠ACB+∠P=\frac{1}{2}∠ACQ+∠BFQ$．
∵∠ACQ=∠ACB+∠BFQ，
∴∠P=$\frac{3}{2}$∠BFQ．

点评 此题考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，角平分线的性质．解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．