Question

1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．

（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求$\frac{a}{s}$的值．

Answer 1

分析 （1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中点D，连接BD，设BC=$\sqrt{3}$x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；
（3）当β=45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，就可以求出$\frac{AE}{PE}$=$\frac{s}{2a-s}$，再分情况讨论就可以求出当AE=PQ时，$\frac{a}{s}$的值，当AP=QM时，可以求出$\frac{a}{s}$的值．

解答 解：（1）如图1，①作一条线段AB，
②作线段AB的中点O，
③以点O为圆心，AB为半径画圆，
④在圆O上取一点C，连接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形（点E、F除外）；

（2）如图2，取AC的中点D，连接BD，
∵∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴设BC=$\sqrt{3}$x，则AC=2x，
∵D是AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=x
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3{x}^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）如图3，当β=45°，点P在AB上时，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，如图4，
∵PC=CQ，
∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AF}{PC}$=$\frac{AB+BP}{PC}$=$\frac{s}{2a-s}$．
∵PE=CE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{s}{2a-s}$．
Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，
$\frac{AE}{PE}$=$\frac{s}{2a-s}$=2，
∴$\frac{a}{s}$=$\frac{3}{4}$，
Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，
作QN⊥AP于N，如图4，
∴MN=AN=$\frac{1}{2}$MP．
∴QN=$\sqrt{15}$MN，
∴tan∠APQ=$\frac{QN}{PN}$=$\frac{\sqrt{15}MN}{3MN}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴tan∠APE=$\frac{AE}{PC}$=$\frac{s}{2a-s}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴$\frac{a}{s}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道相似形综合运用的试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键．