Question

12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）
（1）当点P的坐标为（-1，0）时，求点D的坐标；
（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x-2上？请说明理由；
（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH⊥OC于H．只要证明△APO≌△PDH，推出PH=OA=2，DH=OP=1即可．
（2）如图2中，作射线CD，设AD交PC于G．由△AGC∽△PGD，推出$\frac{AG}{PG}$=$\frac{CG}{GD}$，推出$\frac{AG}{CG}$=$\frac{PG}{GD}$，由∠AGP=∠CGD，推出△AGP∽△CGD，推出∠PAG=∠GCD=45°，推出∠ACD=90°，即CD⊥AC，求出直线CD的解析式即可解决问题．
（3）如图3中，连接CG、AC、CD．由△GBA≌△GBC，推出GA=GC，只要证明GC=GD即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作DH⊥OC于H．

∵四边形AOCB是正方形，A（0，2），P（-1，0），
∴∠AOP=∠PHD=∠APD=90°，OA=2，OP=1，
∵∠APO+∠DPH+90°，∠DPH+∠PDH=90°，
∴∠APO=∠PDH，
在△APO和△PDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠PHD}\\{∠APO=∠PDH}\\{PA=PD}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△PDH，
∴PH=OA=2，DH=OP=1，
∴OH=1，
∴D（1，-1）．

（2）如图2中，作射线CD，设AD交PC于G．

∵∠GCA=∠GDP=45°，∠AGC=∠PGD，
∴△AGC∽△PGD，
∴$\frac{AG}{PG}$=$\frac{CG}{GD}$，
∴$\frac{AG}{CG}$=$\frac{PG}{GD}$，∵∠AGP=∠CGD，
∴△AGP∽△CGD，
∴∠PAG=∠GCD=45°，
∴∠ACD=90°，
∴CD⊥AC，
∵直线AC的解析式为y=-x+2，
∴直线CD的解析式为y=x-2，
∴点D在直线CD上．

（3）如图3中，连接CG、AC、CD．

∵四边形OABC是正方形，
∴BA=BC，∠GBA=∠GBC，∵BG=BG，
∴△GBA≌△GBC，
∴GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA，
∵∠ACD=90°，
∴∠GDC+∠GAC=90°，∠GCB+∠GCA=90°，
∴∠GDC=∠GCD，
∴GC=GD，
∴AG=GD．

点评 本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．