Question

7．如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD．
（1）请直接写出C、D两点的坐标；
（2）求出经过A、B、C三点抛物线的解析式；
（3）点P是第（2）题中抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出A，B的坐标，再利用旋转的性质得出C，D点坐标；
（2）利用交点式求出抛物线解析式，进而得出答案；
（3）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求出最短路线长．

解答 解：（1）∵直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴x=0时，y=4，则B（0，4），
当y=0，x=2，则A（2，0），
∵把△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴C（-4，0），D（0，2）；

（2）∵抛物线与x轴交点为：C（-4，0），A（2，0），
∴设抛物线解析式为：y=a（x+4）（x-2），
把点B（0，4）代入得：-8a=4，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
故抛物线解析为：y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2）=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；

（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
连接BC，交对称轴于点P，此时，△PAB的周长最小，
设直线BC的解析为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$
故直线CB的解析式为：y=x+4，
当x=-1时，y=3，
故P（-1，3）．

点评 此题主要考查了一次函数综合题以及待定系数法求一次函数以及二次函数解析式、利用轴对称求最短路线等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．