Question

9．如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：AF=BE且AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系，并说明理由；
（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为正方形，且DE=CF，推出△ABE≌△DAF，即可得出结论；
（2）根据三角形全等的判定定理角角边证出△ABO≌△DAG，结论可得；
（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，由矩形的性质，得EH=OG，由于DE=CF，GO：CF=4：5，于是得到EH：ED=4：5，根据AF⊥BE，AF⊥DG，得到OE∥DG，∠AEB=∠EDH，推出△ABE∽△HED，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且DE=CF，
∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AOE=90°，即AF⊥BE；

（2）解：BO=AO+OG．
理由：由（1）的结论可知，
∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，
在△ABO与△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DAF}\\{∠AOB=∠DGA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DAG（AAS），
∴BO=AG=AO+OG；

（3）解：如图，过E点作EH⊥DG，垂足为H，
由矩形的性质，得EH=OG，
∵DE=CF，GO：CF=4：5，
∴EH：ED=4：5，
∵AF⊥BE，AF⊥DG，
∴OE∥DG，
∴∠AEB=∠EDH，
∴△ABE∽△HED，
∴AB：BE=EH：ED=4：5，
在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，
故AE：AD=3：4，
即AE=$\frac{3}{4}AD$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明全等三角形，相似三角形，利用线段，角的关系解题．