Question

20．已知AB是⊙O的直径，弦AC与AB的夹是30°，过点C的切线交AB的延长线于点D，如果OD=30cm，则劣弧$\widehat{AC}$的长是10πcm．

Answer 1

分析 连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再利用等腰三角形的性质得∠OCA=∠A=30°，则利用三角形外角性质可得∠COD=60°，于是利用含30度的直角三角形的三边的关系可计算出OC，然后利用弧长公式可计算劣弧$\widehat{AC}$的长．

解答 解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COD=∠OCA+∠A=60°，
在Rt△OCD中，OC=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$×30=15，
而∠AOC=120°，
∴劣弧$\widehat{AC}$的长=$\frac{120•π•15}{180}$=10π（cm）．
故答案为10π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了弧长公式．