题目内容

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:

(1)如图1,△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动) ,连结DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断的变化,但它的面积不变化,四边形CDBF面积为 _______;

(2)如图2,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.

(3)如图3,△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,连结AE,请你求出sin∠AED的值. 

 

(1) (2)菱形(3)

解析:解:(1)            ………………………2分

(2)菱形              ………………………3分

∵CD∥BF,FC∥BD,

 ∴四边形CDBF是平行四边形   ……………………… 4分

∵DF∥AC,∠ACB=90O,

 ∴CB⊥DF              ……………………………  5分

∴四边形CDBF是菱形    …………………………… 6分

(判断四边形CDBF是平行四边形,并证明正确,记2分)

(3)解法一:过D点作DH⊥AE于H,

 则S△ADE=       …………………………… 7分

又S△ADE=  ……………………9分

∴在Rt△DHE中,sin∠AED=      ……………………10分

解法二:∵△ADH∽△ABE                 …………………… 7分

∴    即:    ………………… 8分

∴             ……………………………… 9分

∴sin∠AED=    ……………………………… 10分

(1)根据平移的性质,可得AD=BE,CF∥BD.所以三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积,则梯形的面积就等于直角三角形ABC的面积;

(2)根据直角三角形一边上的中线等于斜边的一半,以及平移的性质可以证明该四边形的四条边相等,则该四边形是菱形.

(3)根据三角函数的概念解答

 

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