Question

将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：CF=EF；
（2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF+EF与DE的大小关系：AF+EF

 

DE．（填“＞”或“=”或“＜”）
（3）若将图（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）如图，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC=BE，根据直角三角形的“HL”定理，易证△BCF≌△BEF，即可证得；
（2）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AC=AF+CF=AF+EF，即AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．

解答：（1）证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，

BC=BE BF=BF

，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF，
∴CF=EF；

（2）AF+EF=DE；
故答案为：=；

（3）证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，

BC=BE BF=BF

，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；
∵AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，学生应熟练掌握证明三角形全等的几个判定定理及其性质．