Question

20．如图，抛物线y=x²在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．将抛物线y=x²沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M₁，M₂，M₃，…M_n，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A₁，A₂，A₃…A_n，…．则顶点M₃的坐标为（5，5）．顶点M₂₀₁₅的坐标为（4029，4029）．

Answer 1

分析 根据抛物线y=x²与抛物线y_n=（x-a_n）²+a_n相交于A_n，可发现规律，根据规律，可得答案．

解答 解：M₁（a₁，a₁）是抛物线y₁=（x-a₁）²+a₁的顶点，
抛物线y=x²与抛物线y₁=（x-a₁）²+a₁相交于A₁，
得x²=（x-a₁）²+a₁，
即2a₁x=a₁²+a₁，
x=$\frac{1}{2}$（a₁+1）．
∵x为整数点
∴a₁=1，
M₁（1，1）；
M₂（a₂，a₂）是抛物线y₂=（x-a₂）²+a₂=x²-2a₂x+a₂²+a₂顶点，
抛物线y=x²与y₂相交于A₂，
x²=x²-2a₂x+a₂²+a₂，
∴2a₂x=a₂²+a₂，
x=$\frac{1}{2}$（a₂+1）．
∵x为整数点，
∴a₂=3，
M₂（3，3），
M₃（a₃，a₃）是抛物线y₂=（x-a₃）²+a₃=x²-2a₃x+a₃²+a₃顶点，
抛物线y=x²与y₃相交于A₃，
x²=x²-2a₃x+a₃²+a₃，
∴2a₃x=a₃²+a₃，
x=$\frac{1}{2}$（a₃+1）．
∵x为整数点
∴a₃=5，
M₃（5，5），
∴点M₂₀₁₅，两坐标为：2015×2-1=4029，
∴M₂₀₁₅（4029，4029），
故答案是：5，5；4029，4029．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，顶点沿直线y=x平移，找出顶点坐标的规律解题关键．