题目内容
14．如图，在矩形ABCD中，AB=16，AD=10，E是线段AB上一点，连接CE，现将∠B向右上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处．（1）当点P落在CD上时，BE=10；当点P在矩形的内部时，BE的取值范围是0＜BE＜10．
（2）当点E与点A重合时：
①请在备用图1中画出翻折后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）
②连接PD，求证：PD∥AC；
（3）当点P在矩形ABCD的对称轴上时，求BE的长．
分析 （1）由折叠的性质得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）①由题意画出图形即可；
②根据全等三角形的性质得到∠PAC=∠DCA，设AP与CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根据平行线的判定定理得到结论；
（3）分两种情况，由折叠的性质用BE表示出AE，最后用勾股定理即可．
解答 解：（1）当点P在CD上时，如图1，
∵将∠B向右上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处，
∴∠BCE=∠ECP=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC=AD=10，
当点P在矩形内部时，BE的取值范围是0＜BE＜10；
故答案为：10，0＜BE＜10；
（2）①补全图形如图2所示，
②当点E与点A重合时，如图3，
由折叠得，AB=PC，
在△ADC与△CPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CD}\\{∠ADC=∠APC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CPA，
∴∠PAC=∠DCA，
设AP与CD相交于O，则OA=OC，
∴OD=OP，∠ODP=∠OPD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠OAC=∠OPD
∴PD∥AC，
（3）当点P在竖直的对称轴上时，如备用图1，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=5，
由折叠得，BE=PE，PC=BC=10，
在Rt△PCG中，根据勾股定理得，PG=5$\sqrt{3}$，
过点E作EF⊥PG于F，
∴FG=BE，∴PF=PG-FG=5$\sqrt{3}$-BE，
在Rt△PEF中，根据勾股定理得，BE2-（5$\sqrt{3}$-BE）2=25，
∴BE=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
当点P在水平的对称轴上时，如备用图2，
∴BG=CH=$\frac{1}{2}$AB=8，
由折叠知，PE=BE，PC=BC=10，
在Rt△CPH中，PH=6，
∴PG=4，
在Rt△PEG中，EG=8-BE，PE=BE，
根据勾股定理得，BE2-（8-BE）2=16
∴BE=5，
即：满足条件的BE的长为5或$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理折叠的性质，等腰直角三角形的性质，尺规作图，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AC、AB上的点，AC=7，∠EDC=60°，∠ABC=120°，AE=BC，sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，则四边形DEBC的面积为$\frac{150\sqrt{3}}{49}$．
| A． | 2 | B． | $\frac{x-4}{x-1}$ | C． | $\frac{2}{x-3}$ | D． | $\frac{2}{x-1}$ |