Question

如图，AB是⊙O的直径，CM是⊙O的切线，切点为C，延长AB交CD于点E，连接AC，在射线CM上取一点D使DA=DC，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G，
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径是4cm，EC=4

3

cm，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC．欲证AD是⊙O的切线，只需证明OA⊥AD即可；
（2）连接OG．在Rt△CEO中利用正切函数求得∠E=30°，从而求得∠EOC=60°；然后由圆周角定理求得∠OAC=30°，从而求得∠ACD=60°，得出△ACD是等边三角形，根据题意证得OC∥AF，得出∠OAG=60°，进一步证得△AOG是等边三角形，进而求得∠COG=60°，根据直角三角形的性质求得OE=2OC=8，进而得出EA=12，从而求得AF=6，EF=6

3

最后根据S_阴影=S_△AEF-S_△OEC-S_△AOG-S_扇形COG即可求得．

解答：（1）证明：∵CM是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD，
∵∠OCA+∠DAC=90°
∴∠0AC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：连接OG；
∵OC=4cm，EC=4

3

cm，
∴在Rt△CEO中，tanE=

OC

EC

=

3

3

，
∴∠E=30°．
∴∠EOC=60°，OE=2OC=8，
∴∠AOC=120°，AE=OE+OA=12，
∴AF=

1

2

AE=6，
∴EF=

AE2-AF2

=6

3

，
∵OA=OC，∠AOC=120°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠ACD=60°，
∵DA=DC，
∴△ACD是等边三角形，
∵AF⊥ED，OC⊥ED，
∴OC∥AF，
∴∠EAF=60°，
∵OA=OG，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠AOG=60°，
∴∠COG=60°，
∴S_阴影=S_△AEF-S_△OEC-S_△AOG-S_扇形COG=

1

2

EF•AF-

1

2

EC•OC-

1

2

OA•

3

2

OA-

60π•OA2

360

=

1

2

×6

3

×6-

1

2

×4

3

×4-

1

2

×4×

3

2

×4-

60π×42

360

=6

3

-

8

3

π．

点评：本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质以及勾股定理的应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．