Question

13．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：
（1）BF=DF；
（2）BF⊥FE．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF≌△DAF，得出对应边相等即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．

解答 证明：如图所示：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，
在△BAF和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAF=∠DAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF=DF；
（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，
∴BF=EF，
∵BF=DF，
∴EF=DF，
∴∠FDE=∠FED，
∵△BAF≌△DAF，
∴∠ABF=∠FDE，
∴∠ABF=∠FED，
∵∠FED+∠FEA=180°，
∴∠ABF+∠FEA=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥FE．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．