Question

在?ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．
（1）若?ABCD的面积为9

3

，求AG的长；
（2）求证：AE=BE+GE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由三角形ABG为等边三角形，得到三边相等，三角相等且为60°，根据ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行，再由BD垂直于BC，得到两个内错角都为90°，进而求出∠DAB=30°，在直角三角形ADB中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半表示出BD，进而表示出AD，表示出平行四边形的面积，将表示出的AD，BD，以及已知面积代入求出AG的长；
（2）在AE上取一点Q，使EQ=BE，连接BQ，由AE，BE平分∠BAD、∠DBC，求出∠BAE与∠DBE的度数，利用内角和定理求出∠AEB=60°，由EQ=BE，得到三角形BQE为等边三角形，得到BE=BQ，∠QBE=60°，得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABQ与三角形GBE全等，利用全等三角形对应边相等得到AQ=GE，等量代换即可得证．

解答：（1）解：∵△ABG为等边三角形，
∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BD⊥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠DAB=

1

2

∠GAB=30°，
在Rt△ADB中，BD=

1

2

AB，AD=

3

2

AB，
∵S_{平行四边形ABCD}=AD•BD=

3

4

AB²=9

3

，
∴AB=6，即AG=6；
（2）证明：在AE上取一点Q，使EQ=BE，连接BQ，
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAD=15°，∠DBE=

1

2

∠DBC=45°，
∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠AEB=60°，
∵EQ=BE，
∴△BQE为等边三角形，
∴BE=BQ，∠QBE=60°，
∴∠ABD=∠QBE=60°，
∴∠ABQ=∠FBE，
在△ABQ和△GBE中，

AB=BQ ∠ABQ=∠FBE BQ=BE

，
∴△ABQ≌△GBE（SAS），
∴AQ=GE，
则AE=AQ+QE=GE+BE．

点评：此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．