对于两个已知图形G1.G2.在G1上任取一点P.在G2上任取一点Q.当线段PQ的长度最小时.我们称这个最小的长度为图形G1.G2的“密距 ,当线段PQ的长度最大值时.我们称这个最大的长度为图形G1.G2的“疏距．请你在学习.理解上述定义的基础上.解决下面的问题,在平面直角坐标系xOy中.点A的坐标为.点B的坐标为(3.4).矩形ABCD的对称中心为点O．(1)线段AD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．对于两个已知图形G₁、G₂，在G₁上任取一点P，在G₂上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G₁、G₂的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G₁、G₂的“疏距”．

请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．
（1）线段AD和BC的“密距”是6，“疏距”是10；
（2）设直线y=-$\frac{3}{4}$x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；
（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为4$\sqrt{2}$+2，旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是6-4$\sqrt{2}$≤密距≤8-4$\sqrt{2}$．

分析（1）线段AD与BC的“密距”是AB或DC的长度；
（2）先求得直线OA的解析式，可知直线EF与OA垂直，故点C到直线EF的距离为“疏距”；
（3）①如图当O、K、D在一条直线上时，密距有最小值，当OK⊥AD时，密距有最大值；
②当四边形KLMN为正方形时面积有最大值．

解答解：（1）如图1：

由垂线的性质可知：线段AD与BC的“密距”是AB或DC的长度，故“密距”是6．
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，“疏距”是10；
故答案为：6；10；
（2）如下图：

设直线OB的解析式为y=kx，
将x=3，y=4代入函数的解析式得4=3k，解得k=$\frac{4}{3}$，
∵直线EF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∴直线OB和EF相互垂直．
∵EF与矩形ABCD的“密距”是1，
∴点D到EF的距离最长=10+1=11，即“疏距”=11；
（3）①当K在BD上时，如图3，

矩形ABCD与四边形KLMN的“疏距”为KB=4$\sqrt{2}$+2，
∴KD=BD-BK=10-（4$\sqrt{2}$+2）=8-4$\sqrt{2}$．故最大密距=8-4$\sqrt{2}$；
②当OK⊥AD时，如图4，

矩形ABCD与四边形KLMN的“密距”有最小值，
∵矩形的宽为6，
∴O到AD的距离为3，
又由①可知OK=OD-KD=5-（8-4$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-3，
所以密距的最小值=3-OK=3-（4$\sqrt{2}$-3）=6-4$\sqrt{2}$．
故密距的范围为：6-4$\sqrt{2}$≤密距≤8-4$\sqrt{2}$，
故答案为：6-4$\sqrt{2}$≤密距≤8-4$\sqrt{2}$．